दूसरे छोर पर, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनकी भिन्न के रूप में अभिव्यक्ति संभव नहीं है। इस लेख में, हम तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं के बीच के अंतर पर चर्चा करने जा रहे हैं। एक नज़र देख लो।
तुलना चार्ट
| तुलना के लिए आधार | तर्कसंगत संख्याओं | अपरिमेय संख्या |
|---|---|---|
| अर्थ | परिमेय संख्या एक संख्या को संदर्भित करती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात में व्यक्त किया जा सकता है। | एक अपरिमेय संख्या वह है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। |
| अंश | अंश में व्यक्त, जहाँ हर where 0। | अंश में व्यक्त नहीं किया जा सकता। |
| शामिल | बिल्कुल सही वर्ग | surds |
| दशमलव का विस्तार | परिमित या आवर्ती | गैर-परिमित या गैर-आवर्ती दशमलव। |
परिमेय संख्याओं की परिभाषा
शब्द अनुपात शब्द अनुपात से लिया गया है, जिसका अर्थ है दो मात्राओं की तुलना और सरल अंश में व्यक्त किया गया। एक संख्या को तर्कसंगत कहा जाता है यदि इसे अंश के रूप में लिखा जा सकता है जैसे कि p / q जहाँ p (अंशांक) और q (भाजक) पूर्णांक होते हैं और भाजक एक प्राकृतिक संख्या (एक गैर-शून्य संख्या) होती है। पूर्णांक, मिश्रित अंश, आवर्ती दशमलव, परिमित दशमलव, आदि सहित अंश, सभी परिमेय संख्याएँ हैं।
परिमेय संख्या के उदाहरण
- 1/9 - अंश और हर दोनों पूर्णांक हैं।
- 7 - 7/1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें 7 पूर्णांक 7 और 1 का भागफल है।
- √16 - जैसा कि वर्गमूल 4 को सरल किया जा सकता है, जो कि 4/1 के अंश का भाग है
- 0.5 - 5/10 या 1/2 के रूप में लिखा जा सकता है और सभी समाप्ति दशमलव तर्कसंगत हैं।
- 0.3333333333 - सभी आवर्ती दशमलव तर्कसंगत हैं।
अपरिमेय संख्या की परिभाषा
किसी संख्या को तब अपरिमेय कहा जाता है जब पूर्णांक (x) और एक प्राकृतिक संख्या (y) के किसी भी अंश को सरलीकृत नहीं किया जा सकता है। इसे एक संख्या के रूप में भी समझा जा सकता है जो तर्कहीन है। तर्कहीन संख्या का दशमलव विस्तार न तो परिमित है और न ही आवर्ती। इसमें सर्ड और स्पेशल नंबर शामिल हैं जैसे π ('पी' सबसे सामान्य अपरिमेय संख्या है) और ई। एक सर्ड नॉन-परफेक्ट स्क्वायर या क्यूब होता है जिसे वर्गाकार रूट या क्यूब रूट को हटाने के लिए और कम नहीं किया जा सकता है।
अपरिमेय संख्या के उदाहरण
- √2 - cannot2 को सरल नहीं किया जा सकता है और इसलिए, यह तर्कहीन है।
- √7 / 5 - दी गई संख्या एक अंश है, लेकिन इसे तर्कसंगत संख्या के रूप में बुलाया जाने वाला एकमात्र मानदंड नहीं है। दोनों अंश और हर को पूर्णांक की आवश्यकता होती है और not7 पूर्णांक नहीं है। इसलिए, दी गई संख्या अपरिमेय है।
- 3/0 - भाजक शून्य के साथ भिन्न, अपरिमेय है।
- decimal - जैसा कि π का दशमलव मान कभी न खत्म होने वाला, कभी न दोहराने वाला और कभी कोई पैटर्न नहीं दिखाता है। इसलिए, पाई का मूल्य किसी भी अंश के बराबर नहीं है। संख्या 22/7 केवल और सन्निकटन है।
- 0.3131131113 - दशमलव न तो समाप्त हो रहा है और न ही आवर्ती है। इसलिए इसे अंश के भागफल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं के बीच महत्वपूर्ण अंतर
तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं के बीच का अंतर निम्नलिखित आधारों पर स्पष्ट रूप से खींचा जा सकता है
- परिमेय संख्या को उस संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है। एक अपरिमेय संख्या एक संख्या है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
- परिमेय संख्याओं में, अंश और हर, दोनों पूर्ण संख्याएँ होती हैं, जहाँ हर एक शून्य के बराबर नहीं होता है। जबकि एक अपरिमेय संख्या एक अंश में नहीं लिखी जा सकती।
- तर्कसंगत संख्या में ऐसे नंबर शामिल हैं जो 9, 16, 25 और इसी तरह के सही वर्ग हैं। दूसरी ओर, एक अपरिमेय संख्या में 2, 3, 5 आदि जैसे सर्ड शामिल हैं।
- तर्कसंगत संख्या में केवल वे दशमलव शामिल हैं, जो परिमित और दोहरा रहे हैं। इसके विपरीत, अपरिमेय संख्याओं में वे संख्याएँ शामिल होती हैं जिनका दशमलव विस्तार अनंत, गैर-दोहरावदार होता है और कोई पैटर्न नहीं दिखाता है।
निष्कर्ष
उपरोक्त बिंदुओं की समीक्षा करने के बाद, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि तर्कसंगत संख्याओं की अभिव्यक्ति अंश और दशमलव दोनों रूप में संभव हो सकती है। इसके विपरीत, एक अपरिमेय संख्या केवल दशमलव रूप में प्रस्तुत की जा सकती है लेकिन एक अंश में नहीं। सभी पूर्णांक तर्कसंगत संख्याएँ हैं, लेकिन सभी गैर-पूर्णांक अपरिमेय संख्याएँ नहीं हैं।
