जब कोई अनुक्रम किसी विशेष नियम का पालन करता है, तो इसे प्रगति कहा जाता है। यह श्रृंखला के समान नहीं है जिसे एक अनुक्रम के तत्वों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। अनुक्रम और श्रृंखला के बीच महत्वपूर्ण अंतर को जानने के लिए लेख को पढ़ें।
तुलना चार्ट
| तुलना के लिए आधार | अनुक्रम | शृंखला |
|---|---|---|
| अर्थ | अनुक्रम को उन संख्याओं या वस्तुओं के समूह के रूप में वर्णित किया जाता है जो एक निश्चित पैटर्न का अनुसरण करते हैं। | श्रृंखला अनुक्रम के तत्वों के योग को संदर्भित करता है। |
| क्रम | जरूरी | कभी-कभी महत्वपूर्ण |
| उदाहरण | 1, 3, 5, 7, 9, 11 .... एन। | 1 + 3 + 5 + 9 + 11 ... n .. |
अनुक्रम की परिभाषा
गणित में, ऑब्जेक्ट्स या संख्याओं का एक क्रमबद्ध सेट, जैसे 1, 2, 3, 4, 5, 6 …… a n…। कहा जाता है कि एक अनुक्रम में, अगर, निश्चित नियम के अनुसार, एक निश्चित मूल्य है। अनुक्रम के सदस्यों को शब्द या तत्व कहा जाता है जो प्राकृतिक संख्या के किसी भी मूल्य के बराबर है। एक अनुक्रम में प्रत्येक शब्द पूर्ववर्ती और सफल शब्द से संबंधित है। सामान्य तौर पर, दृश्यों में एक छिपे हुए नियम या पैटर्न होते हैं, जो आपको अगले शब्द के मूल्य का पता लगाने में मदद करता है।
Nth शब्द पूर्णांक n (धनात्मक) का कार्य है, जिसे अनुक्रम का सामान्य शब्द माना जाता है। एक क्रम परिमित या अनंत हो सकता है।
- परिमित अनुक्रम : एक परिमित अनुक्रम वह होता है जो संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6, a ... n, की संख्याओं की सूची के अंत में रुकता है:
- अनंत अनुक्रम : एक अनंत अनुक्रम एक अनुक्रम को संदर्भित करता है जो एक, 1, 2, 3, 4, 5, एक 6 …… a n… है। ।, द्वारा दर्शाया गया है:
श्रृंखला की परिभाषा
एक अनुक्रम ( एन ) की शर्तों के अलावा, श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। अनुक्रम की तरह, श्रृंखला भी परिमित या अनंत हो सकती है, जहाँ एक परिमित श्रृंखला वह होती है जिसमें एक परिमित संख्या होती है जिसमें 1 + 2 a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + …… a n लिखा जाता है। अनंत श्रृंखला के विपरीत, जहां तत्वों की संख्या परिमित नहीं होती है या जो एकजुट नहीं होती हैं, उन्हें 1 + 2 2 + 3 + 4 + 5 + a 6 + …… a n + … के रूप में लिखा जाता है ।
यदि 1 + 2 a + 3 a + 4 + a 5 + a 6 + …… a n = एस एन, फिर एस एन को श्रृंखला के एन तत्वों के योग के रूप में माना जाता है। शब्दों का योग अक्सर ग्रीक अक्षर सिग्मा (।) द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिये,
अनुक्रम और श्रृंखला के बीच महत्वपूर्ण अंतर
अनुक्रम और श्रृंखला के बीच का अंतर निम्नलिखित आधारों पर स्पष्ट रूप से खींचा जा सकता है:
- अनुक्रम को संख्याओं या वस्तुओं के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक निश्चित पैटर्न का पालन करते हैं। जब अनुक्रम के तत्वों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो उन्हें श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।
- अनुक्रम में क्रम मायने रखता है, क्योंकि एक निश्चित नियम है जो अनुक्रम के पैटर्न को निर्धारित करता है। इसलिए, 1, 2, 3three 3, 1, 2 से अलग है। दूसरी ओर, एक श्रृंखला में उपस्थिति के क्रम में कोई फर्क नहीं पड़ता है या हो सकता है, जैसे पूरी तरह से अभिसरण श्रृंखला के क्रम में कोई फर्क नहीं पड़ता। तो, 1 + 2 + 3 3 + 1 + 2 के समान है, केवल उनका क्रम अलग है।
निष्कर्ष
अंकगणित प्रगति (एपी) और ज्यामितीय प्रगति (जीपी) भी अनुक्रम हैं, श्रृंखला नहीं। अंकगणितीय प्रगति एक ऐसा क्रम है जिसमें लगातार शर्तों जैसे 2, 4, 6, 8 और के बीच एक समान अंतर होता है। इसके विपरीत, एक ज्यामितीय प्रगति में, अनुक्रम का प्रत्येक तत्व पूर्ववर्ती शब्द का सामान्य गुण है जैसे 3, 9, 27, 81 और इतने पर। इसी तरह, फिबोनाची अनुक्रम भी लोकप्रिय अनंत अनुक्रमों में से एक है, जिसमें प्रत्येक शब्द को दो पूर्ववर्ती शब्दों 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21 और इसी तरह जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
